数学极限问题lim<x->0>(1+sinx)^(1/x)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 18:32:21
求极限lim<x->0>(1+sinx)^(1/x)
已知答案为e,希望能够提供过程
题目出自《微积分》(第三版),人大出版,94页25(2)
请大家帮忙！

这个很好解决。
(1+sinx)^(1/x)=(1+sinx)^((1/sinx)*(sinx/x))
=((1+sinx)^(1/sinx))^(sinx/x)
括号里的部分(1+sinx)^(1/sinx)趋向于e，
sinx/x趋向于1。所以
((1+sinx)^(1/sinx))^(sinx/x)趋向于e
也即(1+sinx)^(1/x)趋向于e

lim<x->0>(1+sinx)^(1/x)
由于
lim<x->0>sinx/x=1且sinx<x,
从而对任意n,有在一定范围内(n-1)/n*x<sinx<x
从而
lim<x->0>(1+(n-1)/nx)^(1/x)
<=lim<x->0>(1+sinx)^(1/x)
<=lim<x->0>(1+x)^(1/x)
即e^[(n-1)/n]<=lim<x->0>(1+sinx)^(1/x)<=e
取n趋于无穷，得到lim<x->0>(1+sinx)^(1/x) =e

lim<x->0>(1+sinx)^(1/x)
=lim<x->0>{(1+sinx)^(1/sinx)}^(sinx/x)
=lim<x->0>e^(sinx/x)=e

(1+sinx)^(1/x)=(1+sinx)^((1/sinx)*(sinx/x))
=((1+sinx)^(1/sinx))^(sinx/x)

(1+sinx)^(1/sinx) ->e，
sinx/x ->1

((1+sinx)^(1/sinx))^(sinx/x) ->e
1+sinx)^(1/x) ->e

太简单了